Õppekava maatriksanalüüs. Analüüs, maatriks Maatrikssüsteemide analüüs
Distsipliini loengute kursus
"Maatriksanalüüs"
2. kursuse õpilastele
Matemaatikateaduskonna eriala
"Majandusküberneetika"
(õppejõud Dmitruk Maria Aleksandrovna)
1. Funktsiooni määratlus.
Df. Lase
on skalaarargumendi funktsioon. On vaja defineerida, mida mõeldakse f(A) all, s.t. peame laiendama funktsiooni f(x) argumendi maatriksväärtusele.Selle ülesande lahendus on teada, kui f(x) on polünoom:
, siis.F(A) definitsioon üldjuhul.
Olgu m(x) minimaalne polünoom A ja sellel on kanooniline lagunemine
, , on A omaväärtused. Olgu polünoomidel g(x) ja h(x) samad väärtused.Olgu g(A)=h(A) (1), siis polünoom d(x)=g(x)-h(x) on A annihileeriv polünoom, kuna d(A)=0, seega d(x) ) jagub lineaarse polünoomiga, s.t. d(x)=m(x)*q(x) (2).
, st. (3), , , .Leppime kokku m arvus f(x) sellise jaoks
kutsuge välja funktsiooni f(x) väärtused maatriksi A spektris ja nende väärtuste komplekti tähistatakse .Kui f(x) jaoks on defineeritud hulk f(Sp A), siis on funktsioon defineeritud maatriksi A spektril.
Punktist (3) järeldub, et polünoomidel h(x) ja g(x) on maatriksi A spektris samad väärtused.
Meie arutluskäik on pöörduv, s.t. (3) Þ (3) Þ (1). Seega, kui maatriks A on antud, siis on polünoomi f(x) väärtus täielikult määratud selle polünoomi väärtustega maatriksi A spektris, s.o. kõigil polünoomidel g i (x), mis võtavad maatriksi spektris samad väärtused, on samad maatriksi väärtused g i (A). Nõuame, et f(A) väärtuse määratlus üldjuhul järgiks sama põhimõtet.
Funktsiooni f(x) väärtused maatriksi A spektris peavad täielikult määrama f(A), s.o. funktsioonidel, millel on spektris samad väärtused, peab olema sama maatriksi väärtus f(A). Ilmselt piisab f(A) määramiseks üldjuhul polünoomi g(x) leidmisest, mis võtaks spektris A samad väärtused kui funktsioonil f(A)=g(A).
Df. Kui f(x) on defineeritud maatriksi A spektris, siis f(A)=g(A), kus g(A) on polünoom, mis võtab spektris samad väärtused kui f(A),
Df.Funktsiooni väärtus maatriksist A nimetame polünoomi väärtust selles maatriksis for
.С[x]-st pärinevate polünoomide hulgas, mis võtavad maatriksi A spektris samad väärtused kui f(x), mille aste ei ole kõrgem kui (m-1), millel on samad väärtused maatriksi A spektril. spekter A, kuna f(x) on jagamise jääk, mis tahes polünoomi g(x) väärtused maatriksi A spektris on samad kui f(x) minimaalse polünoomi m(x)=g(x) jagamisest )=m(x)*g(x)+r(x) .
Seda polünoomi r(x) nimetatakse maatriksi A spektri funktsiooni f(x) Lagrange-Sylvesteri interpolatsioonipolünoomiks.
kommenteerida. Kui maatriksi A minimaalsel polünoomil m(x) pole mitut juurt, s.o.
, siis funktsiooni väärtus spektris .Näide:
Leidke r(x) suvalise f(x) jaoks, kui maatriks
. Konstrueerime f(H 1). Leidke minimaalne polünoom H 1 – viimane muutumatu tegur:
, dn-1 = x2; d n-1 = 1;
m x \u003d f n (x) \u003d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – m(x) n-kordne juur, s.o. H 1 n-kordsed omaväärtused.
, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .
2. Funktsioonide omadused maatriksitest.
Kinnistu nr 1. Kui maatriks
omab omaväärtusi (nende hulgas võib olla kordi) ja , siis on maatriksi f(A) omaväärtused polünoomi f(x) omaväärtused: .Tõestus:
Olgu maatriksi A iseloomulik polünoomi kuju:
, , . Loeme. Liigume võrdsuse juurest determinantide juurde:Teeme võrdsuses muudatuse:
(*)Võrdsus (*) kehtib iga hulga f(x) korral, seega asendame polünoomi f(x) arvuga
, saame: .Vasakul oleme saanud maatriksi f(A) iseloomuliku polünoomi, mis on jagatud paremal lineaarseteks teguriteks, mis tähendab, et
on maatriksi f(A) omaväärtused.CHTD.
Kinnistu nr 2. Laske maatriksil
ja on maatriksi A omaväärtused, f(x) on maatriksi A spektris defineeritud suvaline funktsioon, siis maatriksi f(A) omaväärtused on .Tõestus:
Sest funktsioon f(x) on defineeritud maatriksi A spektris, siis eksisteerib maatriksi r(x) interpolatsioonipolünoom, nii et
, ja siis f(A)=r(A) ning maatriksil r(A) on omaväärtused vastavalt atribuudile nr 1, mis on vastavalt võrdne .UDK 681.51.011
MAATRIKSANALÜÜS ETTEVÕTETE JUHTIMISSÜSTEEMIS
© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belaševski 2
LLC "Samara - AviaGaz"
Samara osariigi lennundusülikool
Töö analüüsib erinevaid viise maatriksite rakendamine ettevõtte juhtimises. Kahe või enama hulga elementide vahelist seost (seost) saab esitada maatrikskujul. Seoste koostis võimaldab lihtsustada hulkade elementide vaheliste suhete analüüsi. Toodud on näide prioriteetmaatriksite kasutamisest ettevõtte juhtimissüsteemis.
Maatriksit kui analüüsivahendit on ettevõtte juhtimissüsteemis kasutatud pikka aega. Piisab, kui nimetada kvaliteedifunktsioonide juurutamises selliseid kvaliteeditööriistu nagu maatriksdiagrammid, prioriteetmaatriksid, maatriksanalüüs.
1. Maatriksite kasutamine juhtimises on tingitud asjaolust, et peaaegu iga ettevõtet iseloomustab suur hulk objekte (erinevad seadmed, divisjonid, tarnijad, tarbijad) ja nendevahelisi seoseid on raske kirjeldada selliste sõltuvustega nagu y. \u003d f (x) . Tegelikud ühendused on mitmemõõtmelised ja kaudsed. Maatriksid seevastu võimaldavad selliseid seoseid üsna visuaalsel kujul tuvastada ja analüüsida. Ettevõtte tootmisstruktuuri kujundamise ülesandes saab kasutada osade rühmade vaheliste seoste maatriksit B = ], kus ^ on ühikute arv.
1. ja] -nda osa töötlemisel kasutatavad põhiseadmed, turundusuuringutes kasutatakse tehnilise taseme maatriksit u = \u^], kus
ja y - ]-nda turu 1. ettevõtte tehniline tase ja hinnamaatriks.
Matemaatika seisukohalt võib maatriksi määramist tõlgendada kui kahe hulga objektide vahelise seose (seose) täpsustust. Maatriksielement võib sel juhul tähendada nii objektide seost (näiteks "jah" või "ei") kui ka ühenduse tugevust, väljendatuna numbrina. Kolme või enama hulga korral saab ehitada mitmemõõtmelisi seoseid ja vastavalt sellele ka mitmemõõtmelisi maatrikseid. See lähenemine kaotab aga selguse ja tõlgendamise lihtsuse. Mitmemõõtmeliste suhete analüüsi keerukus
ioonidest saab üle suhtekompositsiooni abil.
2. Oletame, et ettevõttel on tarnijad P1 P2, ... P5, kes tarnivad materjale (osad, koostud, komponendid) Mі, M2, M3. Nendest materjalidest valmistab ettevõte tooteid Ib I2, ... I, klientidele (tarbijatele) Zi, Z2, ... Z5. Nende komplektide jaoks saate koostada ühenduste maatriksid. Oletame näiteks, et luuakse sidemed tarnijate ja nende tarnitavate materjalide (tabel 1), toodete ja vajalike materjalide (tabel 2), klientide ja toodete (tabel 3) vahel. Märk "x" tähistab kahe hulga objektide seost.
Tabel 1. Tarnijasuhete maatriks
ja tarnitud materjalid (PM)
PM Pі P2 Pz P4 P5
Tabel 2. Toodete ja materjalide vaheliste seoste maatriks (IM)
IM Mі M2 Mz
Tabel 3. Klientide ja toodete vaheliste suhete maatriks (PI)
ZI II I2 Alates Alates
Kasutades maatriksitega PM, MI ja ZI antud suhtarvude koostist, ei ole PP suhte maatriksi koostamine keeruline. PZ maatriks (tabel 4) näitab ettevõtte loodud seoseid tarnijate P ja klientide vahel Z^ Nii näiteks toimub kliendi Z3 interaktsioon ettevõttega tootel I3, mis nõuab materjale M! ja M3 tarnivad Pn P3 ja P5.
Tabel 4. Seosmaatriks tarnija-
Tehnoloogiliste protsesside (tootesarjade) detailne ajastamine seosmaatriksite abil lihtsustab kliendi jaoks lisandväärtuse, ettevõtte kasumi ja kahjumi määramist.
3. Ettevõtte kvaliteedijuhtimissüsteemi ülesehitamine on seotud protsesside võrgustiku jaotamisega. Protsesside jaotamine äriüksuste kaupa, standardi nõuete rakendamine, näiteks ISO 9001-2000, saab läbi viia maatriksite abil. Oletame, et esile tõstetakse protsessid: lepingute sõlmimine, QMS dokumentatsiooni haldamine, siseaudit, hanked, tootmine, klientide rahulolu jälgimine ja ettevõttes on divisjonid: turundusosakond, ostuosakond, peadisaineri osakond, peatehnoloogi osakond, tootmine, garantiitoe osakond. Osakondade esindajatega peetud arutelu tulemuste põhjal saab koostada PP maatriksi (tabel 5). Teisest küljest peaksid spetsiaalsed protsessid katma standardi, näiteks ISO 9001-2000, nõudeid. Protsesside sidumine standardiga ISO 9001-2000 annab tulemuseks TP maatriksi (tabel 6).
Seoste koostist kasutades saame ISO maatriksi (tabel 7).
meie ja kliendid (PP)
ПЗ Зі 32 Зз 34 35
Tabel 5. Protsesside ja osakondade vaheliste seoste maatriks (SP)
PP maatriks Turundusosakond Hankeosakond Peadisaineri osakond Peatehnoloogi osakond Tootmise Garantii tugiosakond
Lepingu sõlmimine X X
Siseaudit X
Hange X
Tootmine X
Tabel 6. Protsesside seos standardiga ISO 9001-2000
TP maatriks Kvaliteedijuhtimissüsteemid Juhtimisvastutus Ressursihaldus Protsessid eluring tooted Mõõtke, analüüsige ja täiustage
Lepingu sõlmimine X
QMS dokumentatsiooni haldamine X X
Siseaudit X X
Hange X
Tootmine X X X
Kliendirahulolu jälgimine X
ISO maatriksi turundusosakonna ostuosakonna juhataja. disaineri osakonna kapten. tehnoloog Tootmisgarantii tugiosakond
Kvaliteedijuhtimissüsteemid X X
Juhtimisvastutus X X X
Ressursihaldus X
Toote elutsükli protsessid X X X
Mõõtmine, analüüs ja täiustamine X X
Ilmselgelt võib sellise ISO nõuete jaotuse juures oodata ebakõlasid punktis 5 "Juhtimisvastutus", kuna kvaliteedipoliitika eest vastutab tippjuhtkond.
4. Suhtemaatriksi iga elemendi laiendamine, näiteks "Juhtimisvastutus – turundusosakond", võib kasutada hierarhiaanalüüsi meetodi aluseks olevat prioriteetide maatriksit. ISO 9000-2000 seeria nõuded kehtestavad ettevõtte kvaliteedijuhtimissüsteemi toimimiseks vajaliku regulatiivse ja tehnilise dokumentatsiooni ulatuse ja sügavuse. Ettevõtte kvaliteedijuhtimise üks kohustuslik dokument on kvaliteedipoliitika ja eesmärgid. Ettevõtte eesmärgid on sõnastatud erinevates valdkondades: rahandus, turg, konkurents
(benchmarking), klientide rahulolu, toote ja protsessi tulemuslikkuse parandamine. Kogu organisatsiooni eesmärgid tuleks projitseerida (kasutada, hajutada) selle osakondade kaupa, et töötajad oleksid teadlikud oma kaasatusest ja vastutusest kogu organisatsiooni konkreetse eesmärgi saavutamise eest.
Planeerimine, eesmärkide valimine, käitumise optimeerimine konkurentsikeskkonnas nõuavad alati teatud etapis otsust. Sai praktiliselt selgeks, et sotsiaalsed protsessid, eriti juhtimisprotsessid, on klassikalises raamistikus halvasti vormistatud.
teemasid. Sel juhul võib hierarhiate analüüsimeetod olla üsna tõhus.
Hierarhiate analüüsimeetod põhineb nn prioriteetmaatriksil. Oletame, et ülesandeks on võrrelda valitud objekti mõjutavaid tegureid. Mõjutegurite hulk on reeglina üsna suur, täpsed sõltuvused on teadmata ning ülesande matemaatilist vormistamist on praktiliselt võimatu teostada. Eksperdil on raskusi ka tegurite mõju hindamisel objektile. Üllatuslikult laheneb probleem lihtsamini, kui paarikaupa võrrelda tegurite mõju objektile. (Põhimõte on see, et küsimusele, kui palju A kaalub, on raske vastata, palju lihtsam on otsustada, kumb on raskem: A või B)
Ettevõtte arengu analüütiliseks planeerimiseks on vaja kirjeldada algseisu ("nagu on" positsioon), sihtseisundit (eesmärke) ja vahendeid nende olekute sidumiseks. Allpool on toodud näide hierarhiate analüüsi meetodi rakendamisest, objektina on valitud kvaliteedipoliitikast eesmärk "Ettevõtte kasumi jätkusuutlik kasv" ning välja toodud mõned eesmärki mõjutavad tegurid (tabel 8).
Spetsialistid - ettevõtte eksperdid koostasid valitud kriteeriumite järgi prioriteetsed maatriksid (näide on toodud tabelis 9).
Juhtimislogistika
Planeerimine, hanked,
Investeeringud, tarnijasuhted,
Reklaam, sissepääsukontroll,
Müügihinnad, ressursside kontroll.
Turundusstrateegia. Personal ja areng
tootmise kvalifikatsioon,
Tähtaegadest kinnipidamine, töötajate koolitamine,
Tehnoloogia, töötajate motivatsioon,
Kvaliteet, loovus,
Tootmise korraldus, kulude kontroll. uute arenduste planeerimine
Tabel 9. Maatriksi "Tootmine" näide
Tootmine Toodete tarnetingimuste täitmine Tehnoloogia Kvaliteet Tootmise korraldus Kulude kontroll
Toote tarnetähtaegade järgimine 1 5 1 3 3
Tehnoloogia 1/5 1 3 1 3
Kvaliteet 1 1/3 1 3 1
Tootmise korraldus 1/3 1 1/3 1 1
Kulude kontroll 1/3 1/3 1 1 1
Seoste skaala ja tabelite täitmine 1 - tegurite samaväärsus, 3 - ühe teguri domineerimine teise teguri suhtes,
5 - ühe teguri tugev domineerimine teise teguri üle, 2,4 - võimalikud vaheväärtused.
Maatriksite matemaatiline töötlemine seisnes prioriteetse vektori leidmises maksimaalsele omaväärtusele vastava omavektorina. Näitena on allpool toodud eksperdi N hinnangute töötlemise tulemused (tabel 10). Veerud näitavad prioriteetide vektori komponente erinevate tegurite järgi, näiteks kriteeriumi "Juhtimine" järgi
Eelistatakse investeeringuid.
Joonisel fig. 1. Esitatakse ekspertide prioriteetide arvutamise tulemused vastavalt ülaltoodud kriteeriumidele. Eesmärgi saavutamist seostatakse investeeringute, kvaliteediga,
uute arenduste planeerimine ja ressursside kontrollimine.
Tabel 10. Eksperdi N hinnangute töötlemise tulemused
Eesmärk – Ettevõtte kasumi jätkusuutlik kasv
Juhtimine Tootmismatt - tehniline varustus Personal ja arendus
0,1084 0,3268 0,3072 0,1625
0,4198 0,1280 0,2059 0,0773
0,1084 0,2829 0,1552 0,1007
0,2356 0,1002 0,3316 0,2080
0,1279 0,1621 0,4516
Juhtimine
Tootmine
S&I^TO või i_CO
Personal ja areng
Riis. 1. Ekspertide prioriteetide arvutamise tulemused
Prioriteetide jaotuse teadmine valitud kriteeriumide järgi võimaldab ettevõtte tippjuhtkonnal eesmärgi saavutamiseks järgida mõistlikku poliitikat.
Bibliograafia
1. Gludkin O.P., Gorbunov NM., Gurov A.I., Zorin Yu.V. Täielik kvaliteedijuhtimine. - M.: Raadio ja side, 1999.
2. Kuzin B., Jurijev V., Šahdinarov G. Ettevõtte juhtimise meetodid ja mudelid. - Peterburi: Peeter, 2001.
3. Faure R., Kofman A., Denis-Papin M. Kaasaegne matemaatika. - M.: Mir, 1966.
4. Saati T. Otsustamine. Hierarhia analüüsi meetod. / per. inglise keelest. - M.: Raadio ja side, 1993.
MAATRIKS-ANALÜÜS ETTEVÕTETE JUHTSÜSTEEMIS
© 2006 A.V. Volgin1, G.E. Belachewskij2
\cSamara – Aviagas»
Samara osariigi lennundusülikool
Töös analüüsitakse erinevaid maatriksite kasutamise viise äritegevuses. Kahe ja enama hulga elementide vahelise seose (seotuse) saab esitada maatriksvormis. Seoste koostis võimaldab lihtsustada hulkade elementide vaheliste seoste analüüsi. Tulemuseks on näide prioriteetide maatriksite kasutamisest ettevõtte juhtimissüsteemis.
Petri võrkude analüüsi teine lähenemine põhineb Petri võrkude maatriksesitlusel. Alternatiiviks Petri võrgu definitsioonile kujul (P, T, I, O) on kahe maatriksi D - ja D + määratlus, mis esindavad sisend- ja väljundfunktsioone. Igal maatriksil on m rida (üks ülemineku kohta) ja n veergu (üks positsiooni kohta). Defineerige D- = #(p i , I(t j)) ja D + = #(p i , O(t j)). D - määrab ülemineku sisendid, D + - väljundid.
Petri võrgu definitsiooni maatriksvorm (P, T, D - , D +) on samaväärne meie poolt kasutatava standardvormiga, kuid võimaldab definitsioone vektorite ja maatriksite osas. Olgu e[j] m-vektor, mis sisaldab nulle kõikjal, välja arvatud j-s komponent võrdne ühega. Üleminek t j on kujutatud m-rea vektoriga e[j].
Nüüd on üleminek t j märgistuses µ lubatud, kui µ > e[j] D - , ja ülemineku t j käitamise tulemus märgistuses µ kirjutatakse järgmiselt:
δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D
kus D = D + - D - on liitmuutuste maatriks.
Siis on üleminekukäivitusjada σ = t j 1, t j 2, …, t jk jaoks:
δ(σ) = µ + e D + e D + … + e D =
= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D
Vektorit f(σ) = e + e + ... + e nimetatakse jada σ = t j 1, t j 2, …, t jk, f(σ) j p käivitusvektoriks. üleminek t p jadas t j 1 , t j 2 , … , t jk . Päästikuvektor f(σ) on seega mittenegatiivsete täisarvu komponentidega vektor. (Vektor f(σ) on jada σ = t j 1, t j 2, …, t jk Parikhi kaardistus).
Et näidata sellise maatrikskäsitluse kasulikkust Petri võrkude puhul, mõelge näiteks säilitusprobleemile: kas antud märgistatud Petri võrk säilitab? Konservatsiooni näitamiseks on vaja leida (mitte-null) kaaluvektor, mille puhul kaalutud summa kõigis saavutatavates märgistes on konstantne.
Olgu w = (w 1 ,w 2 , … , w n) veeruvektor. Siis, kui µ on esialgne märgistus ja µ" on suvaline juurdepääsetav märgistus, st µ" kuulub R(C,µ), on vajalik, et µ w = µ" w. Kuna µ" on saavutatav, on jooksuüleminekute jada σ = t j 1, t j 2, …, t jk, mis viib võrgu µ-st µ-ni.
µ" = µ + f(σ) D
Järelikult
µ w = µ" w = (µ + f(σ) D) w = µ w + f(σ) D w, seega f(σ) D w = 0.
Kuna see peab kehtima kõigi f(σ) puhul, on meil D w = 0.
Seega säilib Petri võrk siis ja ainult siis, kui on olemas positiivne vektor w, mille puhul D w = 0.
See annab lihtsa püsivuse kontrolli algoritmi ja võimaldab saada ka kaaluvektori w.
Väljatöötatud Petri võrkude maatriksiteooria on tööriist ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks. Oletame, et tähistus µ on saavutatav märgistusest µ. Siis on jada (võib-olla tühi) üleminekualgustest σ, mis viib µ-st µ-ni". See tähendab, et f(σ) on järgmise maatriksvõrrandi x mittenegatiivne täisarvlahend:
µ" = µ + xD
Seega, kui µ" on saavutatav µ-st, on antud võrrandil lahendus mittenegatiivsete täisarvudena; kui antud võrrandil pole lahendust, siis µ" on µ-st kättesaamatu.
Vaatleme näiteks joonisel 1 näidatud märgistatud Petri võrku:
Riis. 1. Petri võrk, mis illustreerib maatriksvõrranditel põhinevat analüüsimeetodit
Maatriksitel D - ja D + on vorm:
t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3
p 1 1 0 0 p 1 1 0 0
D - = p 2 1 0 0 D + = p 2 0 2 0
p 3 1 0 1 p 3 0 1 0
p 4 0 1 0 p 4 0 0 1
ja maatriks D:
Algmärgistuses µ = (1, 0, 1, 0) on üleminek t 3 lubatud ja see viib märgistuseni µ" = (1, 0, 0, 1).
µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =
= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).
Jada σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 on esitatud stardivektoriga f(σ) = (1, 2, 2) ja on märgistatud µ":
µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)
Et teha kindlaks, kas silt (1, 8, 0, 1) on sildi (1,0, 1, 0) kaudu kättesaadav, on meil võrrand:
(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1,0) + xD
millel on lahendus x =(0, 4, 5). See vastab jadale σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3
(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + x D
pole lahendust.
Petri võrkude analüüsi maatrikskäsitlus on väga paljutõotav, kuid sellel on ka mõningaid raskusi. Kõigepealt märgime, et maatriks D iseenesest ei kajasta täielikult Petri võrgu struktuuri. Üleminekud, millel on nii sisendid kui ka väljundid samast positsioonist (silmused), on esindatud vastavate maatriksielementidega D+ ja D - , kuid siis tühistavad üksteist maatriksis D = D + - D - . See kajastub eelmises näites asendis p 4 ja üleminekus t3.
Teine probleem on järjestusteabe puudumine käivitusvektoris. Vaatleme Petri võrku joonisel fig. 2. Oletame, et tahame kindlaks teha, kas märgistus (0, 0, 0, 0, 1) on kättesaadav väärtusest (1, 0, 0, 0, 0). Siis on meil võrrand
(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + x D
Riis. 2. Teine Petri võrk maatriksanalüüsi illustreerimiseks
Sellel võrrandil ei ole unikaalset lahendit, vaid see taandub lahenduste hulgaks (a\f(o) =(1, x 2, x 6 - 1, 2x 6, x e - 1, x 6)). See määratleb üleminekupäästikute vahelise seose. Kui paneme x 6= 1 ja x 2= 1, siis /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), kuid see trigervektor vastab mõlemale jadale 44444. käivitamine on teadmata.
Teine raskus seisneb selles, et võrrandi lahendamine on saavutatavuse jaoks vajalik, kuid mitte piisav. Mõelge lihtsale Petri võrgule, mis on näidatud joonisel fig. 3. Kui tahame kindlaks teha, kas (0, 0, 0, 1) on saavutatav väärtusest (1, 0, 0, 0), peame lahendama võrrandi
Riis. 3. Petri võrk, mis näitab, et maatriksvõrrandi lahendamine on vajalik, kuid mitte piisav tingimus ligipääsetavusprobleemi lahendamiseks
Sellel võrrandil on lahend f(a) = (1, 1), mis vastab kahele jadale: titt 2 ja /3/t. Kuid kumbki neist kahest üleminekujadast pole võimalik, kuna (1,0, 0, 0) mitte kumbki titt kumbki 4 pole lubatud. Seega võrrandi lahendamisest ei piisa ligipääsetavuse tõestamiseks.
Kontrollküsimused ja ülesanded
1. Koostage Petri võrgu graafik järgmise Petri võrgu jaoks:
P=(p1,p2,p3,p4),T=(t1,t2,t3,t4,t5),
I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1 ),
I(t 2)=(p 1 ), O(t 2)=(p 2 ),
I (t 3) = (p 2, p 2, p 4), O (t 3) = (p 1, p 3),
I(t 4)=(), O(t 4)=(p 3),
I(t5)=(p3), O(t5)=(p4,p4).
2. Koostage Petri võrgu graafik järgmise Petri võrgu jaoks:
P=(p1,p2,p3,p4),T=(t1,t2,t3,t4),
I(t 1)=(), O(t 1)=(p 1, p 1, p 1, p 1, p 2),
I(t 2)=(p 2 ), O(t 2)=( p 1 , p 1 p 1 , p 1 , p 1 , p 1 , p 3 ),
I(t 3)=(p 1,p 1,p 1,p 1,p 1,p 1), O(t 3)=(p 2,p 2 p 2,p 2 p 4,p 4),
I(t 4)=( p 2, p 3 p 4, p 4 ), O(t 4)= (p 3 ).
3. Harjutuse 1 Petri võrgu jaoks m=(5,4,0,0) märgistamiseks märkige lubatud üleminekud.
4. Harjutuse 2 Petri võrgu puhul m=(7,12,2,1) märgistamiseks märkige lubatud üleminekud.
5. Näidake, et ÈR(C,m)=N n , kus mнN n .
6. Tõesta, et kui m‘н R(C,m), siis R(C,m‘)н R(C,m).
7. Tõesta, et m‘н R(C,m) siis ja ainult siis, kui R(C,m‘)н R(C,m).
8. Koostage Petri võrgule ligipääsetavuse komplekt harjutusest 1.
9. Koostage harjutusest 2 Petri võrgu jaoks ligipääsetav komplekt.
10. Petri võrgud oma žetoonide ja käivitamisreeglitega meenutavad paljuski mänge, millel on mänguväli: kabe, backgammon, him, go jne. Võite välja mõelda ühe või nelja inimese mängu, mis koosneb mängimisest põld (väljana kasutatakse Petri võrku) ja kiipide komplekt. Märgid jaotatakse Petri võrgu positsioonide vahel ning mängijad valivad kordamööda lubatud üleminekud ja käivitavad need. Määrake mängureeglid, pakkudes järgmist:
a Kuidas määratakse plaatide algne asukoht? (Näiteks iga mängija alustab mängu ühe žetooniga majas või saab iga mängija soovi korral n klotsi kogu väljakul jne).
b Mis on mängu eesmärk? (Püüdke oma vastase žetoone; hankige kõige rohkem žetoone; vabanege oma žetoonidest niipea kui võimalik jne).
c Kas erinevate mängijate jaoks on vaja nuppe värvida? (Määrake vastavalt üleminekute käivitamise reeglid.)
d Kas me ei peaks määrama punkte erinevatele üleminekutele? (Siis määratakse mängija punktisumma tema vallandatud üleminekute summa järgi).
Selle põhjal kirjeldage mängu, tooge mängu näide.
11. Töötage välja programm, mis realiseerib mängu harjutusest 10, kus teie vastaseks on antud Petri võrgu arvuti.
12. Ehitage Petri võrgu teostamiseks simulatsioonisüsteem. Lubatud üleminekute alguse määrab simulatsioonisüsteemi kasutaja.
13. Targad istuvad suure ümmarguse laua taga, millel on palju Hiina köögi roogasid. Naabrite vahel on üks söögipulk. Hiina toidu söömiseks on aga vaja kahte pulka, nii et iga tark peaks pulgaid võtma paremalt ja vasakult. Probleem on selles, et kui kõik targad võtavad vasaku külje pulgad ja siis ootavad, kuni parema külje pulgad vabastatakse, siis nad ootavad igavesti ja surevad nälga (tupikseisund). Vaja on ehitada selline Petri võrk, mis paneb paika õhtusöögi pidamise strateegia ja millel pole tupikteid.
14.Ehitage Petri võrk, mis esindab lõplikku automaati, mis arvutab kahendarvu kahe täiendi.
15.Ehitage lõpliku olekuga masinat kujutav Petri võrk sisestatud kahendarvu paarsuse määramiseks.
16.Ehitage Petri võrk, mis esindab lõplikku olekumasinat, mis määrab loendussisendiga päästiku.
17.Ehitage Petri võrk, mis esindab olekumasinat, mis määratleb trigeri eraldi sisenditega.
18. Töötada välja algoritm vooskeemide modelleerimiseks Petri võrguga.
19.PERT-diagramm on graafiline esitus projekti erinevate etappide vahelistest suhetest. Projekt koosneb suurest hulgast tegevustest ja tegevused tuleb lõpetada enne, kui teised saavad alustada. Lisaks kulub iga töö valmimiseks teatud aeg. Teosed on graafiliselt kujutatud tippude abil ning kaare abil näidatakse nendevahelisi põhjuse ja tagajärje seoseid. PETR-diagramm on kaalutud servadega suunatud graaf. Ülesanne on määrata minimaalne aeg projekti valmimiseks. Töötada välja algoritm PERT diagrammide modelleerimiseks Petri võrkude abil.
20. Töötage Petri võrkudel põhinev mudel keemiliste reaktsioonide simuleerimiseks.
21. Kaaluge mitte puu, vaid ligipääsetavuse graafiku ehitamist. Kui tipp x genereerib mõne mittepiirava tipu y jaoks järgmise tipu z m[z]=m[y], võetakse kasutusele sobivalt märgistatud kaar punktist x kuni y. Kirjeldage ligipääsetavuse graafiku koostamise algoritmi.
22. Näidake, et ligipääsetavuse graafi ehitusalgoritm koondub ja uurige selle omadusi, võrreldes seda ligipääsetavuse puu ehitusalgoritmiga.
23. Kättesaadavuse puud ei saa kasutada ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks, sest info läheb kaduma seoses sümboli w mõiste kasutuselevõtuga. See võetakse kasutusele siis, kui jõuame tähisele m’ ja rajal juurest m’ on selline tähis m, et m’>m. Sel juhul on võimalik saada kõik märgid kujul m+n(m‘-m). Uurige võimalust kasutada komponentide väärtuste esitamiseks avaldist a+bn i w asemel. Kui saad defineerida ligipääsetavuse puu, milles kõik märgistusvektorid on esindatud avaldistega, siis saavutatavusprobleemi lahendus määratakse lihtsalt võrrandisüsteemi lahendamisega.
24. Üldistada säilivuse definitsiooni negatiivsete kaalude lubamisega Milline oleks negatiivse kaalu mõistlik tõlgendus? Kas Petri võrgu püsivuse määramise probleem on lahendatav, kui lubatud on negatiivsed kaalud?
25. Töötada välja algoritm Petri võrgu piirituse määramiseks, kasutades analüüsi maatriksmeetodit.
26. Töötada välja algoritm kahe Petri võrgu võrdsuse ülesande lahendamiseks. Petri võrk C 1 =(P 1,T 1,I 1,O 1) märgistatud m 1 võrdub Petri võrguga C 2 =(P 2,T 2,I 2,O 2) märgistatud m 2, kui R(C 1 ,m1)= R(C2,m2).
27. Töötada välja kahe Petri võrgu alamhulga ülesande lahendamise algoritm. Petri võrk C 1 =(P 2 ,T 2,I 2 ,O 2) märgistatud m 2 on Petri võrgu C 1 =(P 1 ,T 1,I 1,O 1) alamhulk, mis on märgistatud m 1, kui R( C 1,m 1)Н R(C2,m2).
28. Töötada välja algoritm ligipääsetavuse probleemi lahendamiseks. Petri võrgus C=(P,T,I,O), mille tähistus on m, on tähis m‘ saavutatav m-st, kui m‘ ОR(C,m).
29. Töötage välja alamsildistamise ligipääsetavuse probleemi algoritm. Kui on antud alamhulk P’ Н P ja tähis m’, kas on olemas m’’ ОR(C,m) nii, et m’’(p i)=m’(p i) kõigi p i ОP’ jaoks?.
30. Töötage välja nulljuurdetavuse probleemi algoritm. Kas m’нR(C,m), kus m’(p i)=0, kehtib kõigi p i нP kohta?
31. Töötage välja algoritm ühes asendis nulli jõudmise ülesande jaoks. Kas antud positsiooni p i ОP korral eksisteerib m‘ОR(C,m), kui m‘(p i)=0?
32. Töötada välja algoritm Petri võrguaktiivsuse ülesande lahendamiseks. Kas kõik üleminekud t j ОT on aktiivsed?
33. Töötada välja algoritm ühe ülemineku aktiivsuse ülesande lahendamiseks. Kas see üleminek t j ОT on aktiivne?
34. Petri võrku nimetatakse pöörduvaks, kui iga ülemineku t j ОT jaoks on olemas selline üleminek t k ОT, et
#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),
need. iga ülemineku jaoks on teine üleminek vastupidiste sisendite ja väljunditega. Töötage välja pöörduvusega Petri võrkude ligipääsetavusprobleemi lahendamise algoritm.
35. Töötada välja pööratavate Petri võrkude võrdsusülesande lahendamise algoritm.
36. Suitsetajate ülesanne. Kõik kolm suitsetajat teevad pidevalt sigareti ja suitsetavad seda. Sigareti valmistamiseks on vaja tubakat, paberit ja tikke. Ühel suitsetajal on alati paber, teisel tikud, kolmandal tubakas. Agendil on lõputult palju paberit, tikke ja tubakat. Agent paneb need kaks komponenti lauale. Suitsetaja, kellel on kolmas puuduv koostisosa, võib valmistada ja suitsetada sigaretti, andes sellest agendile märku. Seejärel asetab agent kolm ülejäänud koostisosa ja tsükkel kordub. Pakkuge välja aktiivne Petri võrk, mis modelleerib suitsetajate probleemi.
37. Automaadi Petri võrk on Petri võrk, milles igal üleminekul võib olla täpselt üks väljund ja üks sisend, s.t. kõigi t j ОT ½I(t j)1=1 ja ½O(t j)1=1 korral. Töötada välja algoritm lõpliku automaati konstrueerimiseks, mis on ekvivalentne antud automaati Petri võrguga.
38. Sildistatud graaf on Petri võrk, milles iga positsioon on täpselt ühe ülemineku sisend ja täpselt ühe ülemineku väljund, s.t. iga ülemineku jaoks p i ОP ½I(p i)1=1 ja ½O(p i)1=1. Töötage välja algoritm märgistatud graafikute juurdepääsetavuse probleemi lahendamiseks.
39. Vaatleme Petri võrkude klassi, mis on nii märgistatud graafikud kui ka automaatsed Petri võrgud.
40.Ehitage Petri võrk, mis simuleerib lisas 8 kirjeldatud süsteeme. Kirjeldage süsteemis toimuvaid sündmusi ja süsteemi kirjeldavaid tingimusi. Ehitage ehitatud Petri võrgu jaoks ligipääsetav puu. Kirjeldage olekuid, milles süsteem võib olla.
Distsipliini loengute kursus
"Maatriksanalüüs"
2. kursuse õpilastele
Matemaatikateaduskonna eriala
"Majandusküberneetika"
(õppejõud Dmitruk Maria Aleksandrovna)
Peatükk 3. Maatriksfunktsioonid.
- Funktsiooni määratlus.
Df. Olgu funktsioon skalaarargument. On vaja defineerida, mida mõeldakse f(A) all, s.t. peame laiendama funktsiooni f(x) argumendi maatriksväärtusele.
Selle ülesande lahendus on teada, kui f(x) on polünoom: , siis.
F(A) definitsioon üldjuhul.
Olgu m(x) minimaalne polünoom A ja sellel on selline kanooniline lagunemine, omaväärtused A. Olgu polünoomidel g(x) ja h(x) samad väärtused.
Olgu g(A)=h(A) (1), siis polünoom d(x)=g(x)-h(x) on A annihileeriv polünoom, kuna d(A)=0, seega d(x) ) jagub lineaarse polünoomiga, s.t. d(x)=m(x)*q(x) (2).
Siis, st. (3), .
Leppigem kokku, et kutsume f(x) jaoks selliseid funktsiooni f(x) väärtusi maatriksi A spektris ja nende väärtuste hulk tähistatakse.
Kui f(x) jaoks on defineeritud hulk f(Sp A), siis on funktsioon defineeritud maatriksi A spektril.
Punktist (3) järeldub, et polünoomidel h(x) ja g(x) on maatriksi A spektris samad väärtused.
Meie arutluskäik on pöörduv, s.t. (3) (3) (1). Seega, kui maatriks A on antud, siis on polünoomi f(x) väärtus täielikult määratud selle polünoomi väärtustega maatriksi A spektris, s.o. kõigil polünoomidel gi(x), mis võtavad maatriksi spektris samad väärtused, on samad maatriksi väärtused gi(A). Nõuame, et f(A) väärtuse määratlus üldjuhul järgiks sama põhimõtet.
Funktsiooni f(x) väärtused maatriksi A spektris peavad täielikult määrama f(A), s.o. funktsioonidel, millel on spektris samad väärtused, peab olema sama maatriksi väärtus f(A). Ilmselt piisab f(A) määramiseks üldjuhul polünoomi g(x) leidmisest, mis võtaks spektris A samad väärtused kui funktsioonil f(A)=g(A).
Df. Kui f(x) on defineeritud maatriksi A spektris, siis f(A)=g(A), kus g(A) on polünoom, mis võtab spektris samad väärtused kui f(A),
Df. Funktsiooni väärtus maatriksist A nimetame polünoomi väärtust selles maatriksis at.
С[x] polünoomide hulgast, võttes maatriksi A spektris samad väärtused kui f(x), mille aste ei ole kõrgem kui (m-1), võttes samad väärtused spektris A , kuna f(x) on mis tahes polünoomi g(x) jagamise jääk, millel on maatriksi A spektris samad väärtused kui f(x), minimaalse polünoomiga m(x)=g(x) =m(x)*g(x)+r(x).
Seda polünoomi r(x) nimetatakse maatriksi A spektri funktsiooni f(x) Lagrange-Sylvesteri interpolatsioonipolünoomiks.
kommenteerida. Kui maatriksi A minimaalsel polünoomil m(x) pole mitut juurt, s.o. , siis funktsiooni väärtus spektris.
Näide:
Leidke r(x) suvalise f(x) jaoks, kui maatriks
. Konstrueerime f(H1 ). Leidke minimaalne polünoom H1 viimane muutumatu tegur:
, dn-1=x2 ; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x) = xn 0 nmitmejuureline m(x), st. n-kordsed omaväärtused H1 .
, r(0)=f(0), r(0) = f(0),…,r(n-1)(0) = f(n-1)(0) .
- Funktsioonide omadused maatriksitest.
Kinnistu nr 1. Kui maatriksil on omaväärtused (nende hulgas võib olla kordusi), a, siis on maatriksi f(A) omaväärtused polünoomi f(x) omaväärtused: .
Tõestus:
Olgu maatriksi A iseloomulik polünoomi kuju:
Loeme. Liigume võrdsuse juurest determinantide juurde:
Teeme võrdsuses muudatuse:
Võrdsus (*) kehtib iga hulga f(x) korral, seega asendame polünoomi f(x) järgmisega, saame:
Vasakul oleme saanud maatriksi f(A) iseloomuliku polünoomi, mis on jagatud paremal lineaarseteks teguriteks, millest järeldub, et maatriksi f(A) omaväärtused.
CHTD.
Kinnistu nr 2. Olgu maatriks ja maatriksi A omaväärtused f(x) maatriksi A spektris defineeritud suvaline funktsioon, siis on maatriksi f(A) omaväärtused võrdsed.
Tõestus:
Sest funktsioon f(x) on defineeritud maatriksi A spektris, siis on maatriksi r(x) interpolatsioonipolünoom nii, et ja siis f(A)=r(A) ja maatriks r(A) omab omaduse nr 1 järgi omaväärtusi, mis on vastavalt võrdsed.
CHTD.
Kinnistu nr 3 Kui A ja B on sarnased maatriksid, s.t. , ja f(x) on maatriksi A spektris määratletud suvaline funktsioon, siis
Tõestus:
Sest A ja B on sarnased, siis on nende karakteristikud polünoomid ja omaväärtused samad, nii et f(x) väärtus maatriksi A spektris ühtib funktsiooni f(x) väärtusega maatriksi B spektris ja on olemas interpolatsioonipolünoom r(x), nii et f(A)=r(A), .
CHTD.
Kinnistu number 4. Kui A on ploki diagonaalmaatriks, siis
Tagajärg: Kui, siis kus f(x) on maatriksi A spektris defineeritud funktsioon.
- Lagrange-Sylvesteri interpolatsioonipolünoom.
Juhtum number 1.
Las see antakse. Vaatleme esimest juhtumit: iseloomulikul polünoomil on täpselt n juurt, mille hulgas pole kordajaid, s.t. maatriksi A kõik omaväärtused on erinevad, st. , Sp A on lihtne. Sel juhul konstrueerime põhipolünoomid lk(x):
Olgu f(x) maatriksi A spektris defineeritud funktsioon ja selle funktsiooni väärtused spektris. Peame ehitama.
Ehitame:
Märgime seda.
Näide: Lagrange-Sylvesteri interpolatsioonipolünoomi konstrueerimine maatriksi jaoks.
Koostame põhipolünoomid:
Siis maatriksi A spektris määratletud funktsiooni f(x) jaoks saame:
Võtame, siis interpolatsioonipolünoom
Juhtum number 2.
Maatriksi A iseloomulikul polünoomil on mitu juurt, kuid selle maatriksi minimaalne polünoom on iseloomuliku polünoomi jagaja ja sellel on ainult lihtjuured, st. . Sel juhul konstrueeritakse interpolatsioonipolünoom samamoodi nagu eelmisel juhul.
Juhtum number 3.
Vaatleme üldist juhtumit. Olgu minimaalsel polünoomil vorm:
kus m1+m2+…+ms=m, kraad r(x) Koostame murdosa-ratsionaalfunktsiooni: ja lagundage see lihtmurdudeks. Määrame: . Korruta (*) ja saad kus on mingi funktsioon, mis ei lähe lõpmatuseni. Kui sisestame (**), saame: Ak3 leidmiseks tuleb (**) kaks korda eristada jne. Seega on koefitsient aki üheselt määratud. Pärast kõigi koefitsientide leidmist pöördume tagasi (*), korrutame m(x)-ga ja saame interpolatsioonipolünoomi r(x), s.t. Näide: Leia f(A), kui, kus tmingi parameeter,
Kontrollime, kas funktsioon on maatriksi A spektris defineeritud Korruta (*) (x-3) at x=3 Korruta (*) (x-5) Sellel viisil,on interpolatsioonipolünoom. Näide 2 Kui a, siis tõesta seda Leiame maatriksi A minimaalse polünoomi: on iseloomulik polünoom. d2
(x)=1, siis minimaalne polünoom Vaatleme maatriksispektris f(x)=sin x: funktsioon on defineeritud spektris. Korrutage (*) arvuga
.
Korrutage (*) arvuga:
Arvutage tuletise (**) abil: . Eeldusel,
, st..
Niisiis,,
Näide 3 Olgu f(x) defineeritud maatriksi spektris, mille minimaalpolünoomil on kuju. Leia funktsiooni f(x) interpolatsioonipolünoom r(x). Lahendus: Tingimusega f(x) on maatriksi A spektril defineeritud f(1), f(1), f (2), f(2), f(2) määratletud. Kasutame määramata koefitsientide meetodit: Kui f(x)=log x f(1)=0f(1)=1
f(2) = log 2f(2)=0.5
f(2)=-0.25
4. Lihtmaatriksid.
Olgu maatriks, kuna C on algebraliselt suletud väli, siis x 1. harjutus Arvutage maatriksite summa kA+mB, kui Summamaatriksi elemendid määratakse järgmise valemiga: cij=kaij+mbij. Arvutage summamaatriksi esimese rea elemendid: C11=-4*2+5*3=7 C12 = -4 * (-1) + 5 * 7 = 39 C13=-4*4+5*(-2)=-26 C21=-4*6+5*9=21 C22=-4*3+5*1=-7 C23=-4*0+5*6=30 С31 = -4 * (-7) + 5 * (-4) = 8 C32=-4*5+5*8=20 C33=-4*9+5*5=-11 Seega on summamaatriks järgmine: 2. ülesanne Arvutage pöördmaatriks ja kontrollige. Kasutame pöördmaatriksi leidmiseks algoritmi: A11=(-1) 2*3*3-0*(-5)=-9 A12 = (-1) 3 * -4 * 3-1 * (-5) = 7 A13 = (-1) 4 * -4 * 0-1 * 3 = -3 A21=(-1) 3*1*3-0*3=-3 A22=(-1) 4*-3*3-1*3=-12 A23 = (-1) 5 * -3 * 0-1 * 1 = 1 A31=(-1) 4*1*(-5)-3*3=-14 A32 = (-1) 5 * -3 * (-5)-(-4) * 3 = -27 A33 = (-1) 6 * -3 * 3-(-4) * 1 = -5 Seega saame maatriksi: 4. Transponeerige saadud maatriks: 5. Jagame viimase maatriksi algmaatriksi determinandiga ja saame pöördmaatriksi: 6. Kontrollime tulemust. Selleks leiame saadud maatriksi korrutise algse maatriksi järgi: A -1 .* A=A * A -1 =*= == Seega saime tulemuseks identiteedimaatriksi. Seega on pöördmaatriks leitud, eks. 3. ülesanne Lahendage lineaarvõrrandi süsteem Crameri, Gaussi meetodil. Lahendus: 1) Lahendage süsteem Crameri meetodil. Koostame süsteemi maatriksi: Arvutame selle maatriksi determinandi: 0 * (-8) * 4+3 * 2 * (-5)+7 * 2 * 9-9 * (-8) * (-5)-3 * 7 * 4-0 * 2 * 2=-348?0 Määravate tegurite leidmine? 1
, ?2, ?3, mis saadakse algsest determinandist, asendades vastavalt esimese, teise ja kolmanda veeru vabade liikmete veeruga: 1==2 * (-8) * 4+3 * 2 * (-3)+9 * 5 * 2-9 * (-8) * (-3)-3 * 5 * 4-2 * 2 * 2=-276 2==0 * 5 * 4+2 * 2 * (-5)+9 * 7 * (-3)-9 * 5 * (-5)-2 * 7 * 2-0 * 2 * (-3)=- 40 3==0 * (-8) * (-3)+3 * 5 * (-5)+2 * 7 * 2-2 * (-8) * (-5)-3 * 7 * (-3)-0 * 5 * 2=- 64 Nüüd kasutame Crameri valemeid x1=, x2=, x3= , leidke süsteemi lahendus: X1==,=0,79 x2==,=0,11 x3===0,18 2) Lahendame süsteemi Gaussi meetodil. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi, mis sisaldab muutujate ja vabade terminite koefitsiente: Korrutage 2. rida arvuga (5). Korrutage 3. rida arvuga (7). Liidame 3. rea teisele: Korrutage esimene rida (26). Korrutage 2. rida arvuga (3). Lisame 2. rea esimesele: Alates 1. realt väljendame x 3 2. realt väljendame x 2 26x 2 \u003d - + 4 = 0,11 Alates 3. realt väljendame x 1 5x 1 \u003d -2 * 0,11- - 3 \u003d 0,79 4. ülesanne maatriksi determinant lineaarne Cramer gauss Arvutage 4. järku determinant Neljandale reale kirjutame determinandi laienduse: A \u003d\u003d 0 * A 41 + 3 * A 42 + 0 * A 43 + 1 * A 44 kus Aij on elemendi ij a algebraline täiend. Leiame algebralised liitmised valemi A ij =(-1) i+j järgi, kus m ij on elemendi ij a moll, mis saadakse algdeterminandist, kustutades rea ja veeru, mille ristumiskohas see element seisab. A 42 \u003d (-1) 4 + 2 * m 42 \u003d (-1) 6 * \u003d 4 * 7 * (-9) + 7 * (-7) * 0 + 1 * (-1) * 0 - 0 * 7 * 0 - 7 * 1 * (-9) - 4 * (-7) * (-1) = -217 A 44 \u003d (-1) 4 + 4 * m 44 \u003d (-1) 8 * \u003d 4 * (-3) * (-1) + 0 * 7 * 0 + 1 * 1 * 7-7 * (-3) * 0-0 * 1 * (-1)-4 * 7 * 1=-9 Saadud väärtused asendame determinandi laiendusega: 3 * A 42 + A 44 \u003d 3 * (-217) + (-9) \u003d -660 5. ülesanne pöörddeterminantmaatriks lineaarne Cramer gauss Iseseisvalt, analoogselt näitega, looge probleem majandusliku sisuga, koostage majandusprotsessi matemaatiline mudel ja lahendage probleem. Ülesanne. Kolme tüüpi tooraine A, B, C kulud iga kolme tooteliigi I, II, III ühiku tootmiseks ja iga tooraineliigi varud on toodud tabelis (tabel 1). : Tabel 1 Tooted Tooraine tüüp Tooraine varud On vaja koostada tootmisplaan, mis tagab kõigi toorainete kasutamise. Kirjutame tabelis toodud andmete abil lineaarvõrrandisüsteemi: kus - iga tüübi toodangu maht. Lahenduseks kasutame Gaussi meetodit. Kirjutame süsteemi liitmaatriksi: Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi kujul: Korrutage 2. rida arvuga (-2). Lisame 2. rea esimesele: Korrutage 2. rida arvuga (3). Korrutage 3. rida arvuga (-1). Liidame 3. rea teisele: Korrutage esimene rida (2-ga). Lisame 2. rea esimesele: Nüüd saab algse süsteemi kirjutada järgmiselt: x2 = /2 x 1 = /3 Alates 1. realt väljendame x 3 2. realt väljendame x 2 Alates 3. realt väljendame x 1
