Kao dio svakog nastavnog plana i programa, studij fizike počinje mehanikom. Ne iz teorijske, ne iz primijenjene i ne računske, već iz dobre stare klasične mehanike. Ova mehanika se još naziva i Njutnova mehanika. Prema legendi, naučnik je šetao vrtom, vidio kako jabuka pada, a upravo ga je taj fenomen potaknuo da otkrije zakon univerzalne gravitacije. Naravno, zakon je oduvijek postojao, a Newton mu je samo dao oblik razumljiv ljudima, ali njegova zasluga je neprocjenjiva. U ovom članku nećemo što detaljnije opisivati ​​zakone Njutnove mehanike, već ćemo izložiti osnove, osnovna znanja, definicije i formule koje vam uvijek mogu igrati na ruku.

Mehanika je grana fizike, nauka koja proučava kretanje materijalnih tijela i interakcije između njih.

Sama riječ je grčkog porijekla i prevodi se kao "umijeće izgradnje mašina". Ali prije izgradnje mašina, još nam je dug put, pa idemo stopama naših predaka, pa ćemo proučavati kretanje kamenja bačenog pod uglom prema horizontu i jabuka koje padaju na glave sa visine h.

Zašto proučavanje fizike počinje mehanikom? Zato što je potpuno prirodno, a ne polaziti od termodinamičke ravnoteže?!

Mehanika je jedna od najstarijih nauka, a istorijski proučavanje fizike počelo je upravo sa osnovama mehanike. Smješteni u okvire vremena i prostora, ljudi, zapravo, nisu mogli krenuti od nečega drugog, ma koliko to htjeli. Pokretna tijela su prva stvar na koju obraćamo pažnju.

Šta je kretanje?

Mehaničko kretanje je promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo tokom vremena.

Nakon ove definicije sasvim prirodno dolazimo do koncepta referentnog okvira. Promjena položaja tijela u prostoru jedno u odnosu na drugo. Ključne riječi ovdje: jedni prema drugima . Na kraju krajeva, putnik u automobilu se kreće u odnosu na osobu koja stoji pored puta određenom brzinom, i odmara se u odnosu na svog susjeda na obližnjem sjedištu i kreće se nekom drugom brzinom u odnosu na putnika u automobilu koji prestiže ih.

Zato nam je potrebno, kako bismo normalno mjerili parametre pokretnih objekata i ne bismo se zbunili referentni sistem - kruto međusobno povezano referentno tijelo, koordinatni sistem i sat. Na primjer, Zemlja se kreće oko Sunca u heliocentričnom referentnom okviru. U svakodnevnom životu gotovo sva naša mjerenja vršimo u geocentrični sistem referenca povezana sa zemljom. Zemlja je referentno tijelo u odnosu na koje se kreću automobili, avioni, ljudi, životinje.

Mehanika, kao nauka, ima svoj zadatak. Zadatak mehanike je da u svakom trenutku zna položaj tijela u prostoru. Drugim riječima, mehanika gradi matematički opis kretanja i pronalazi veze između njih fizičke veličine karakterišući ga.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je pojam “ materijalna tačka ". Kažu da je fizika egzaktna nauka, ali fizičari znaju koliko aproksimacija i pretpostavki treba napraviti da bi se složili upravo oko ove tačnosti. Niko nikada nije video materijalnu tačku ili nanjušio idealan gas, ali oni postoje! Sa njima je mnogo lakše živeti.

Materijalna tačka je tijelo čija se veličina i oblik mogu zanemariti u kontekstu ovog problema.

Sekcije klasične mehanike

Mehanika se sastoji od nekoliko sekcija

• Kinematika
• Dynamics
• Statika

Kinematika sa fizičke tačke gledišta, proučava tačno kako se telo kreće. Drugim riječima, ovaj dio se bavi kvantitativnim karakteristikama kretanja. Pronađi brzinu, putanju - tipični zadaci kinematike

Dynamics rješava pitanje zašto se kreće na način na koji se kreće. Odnosno, razmatra sile koje djeluju na tijelo.

Statika proučava ravnotežu tijela pod djelovanjem sila, odnosno odgovara na pitanje: zašto uopće ne pada?

Granice primjene klasične mehanike

Klasična mehanika više ne tvrdi da je nauka koja sve objašnjava (na početku prošlog veka sve je bilo potpuno drugačije), i ima jasan obim primenljivosti. Generalno, zakoni klasične mehanike vrijede za svijet koji nam je poznat po veličini (makrosvijet). Prestaju da rade u slučaju sveta čestica, kada se klasični zameni sa kvantna mehanika. Takođe, klasična mehanika je neprimenljiva u slučajevima kada se kretanje tela dešava brzinom bliskom brzini svetlosti. U takvim slučajevima relativistički efekti postaju izraženi. Grubo rečeno, u okviru kvantne i relativističke mehanike – klasične mehanike, ovo je poseban slučaj kada su dimenzije tijela velike, a brzina mala.

Uopšteno govoreći, kvantni i relativistički efekti nikada ne nestaju, oni se takođe dešavaju prilikom uobičajenog kretanja makroskopskih tela brzinom mnogo manjom od brzine svetlosti. Druga stvar je da je djelovanje ovih efekata toliko malo da ne ide dalje od najpreciznijih mjerenja. Klasična mehanika tako nikada neće izgubiti svoju temeljnu važnost.

Nastavit ćemo proučavati fizičke osnove mehanike u budućim člancima. Za bolje razumijevanje mehanike, uvijek se možete obratiti naši autori, koji su pojedinačno rasvijetlili tamnu tačku najtežeg zadatka.

Statika je grana teorijske mehanike koja proučava uslove ravnoteže materijalnih tela pod dejstvom sila, kao i metode za pretvaranje sila u ekvivalentne sisteme.

Pod stanjem ravnoteže, u statici, podrazumijeva se stanje u kojem svi dijelovi mehaničkog sistema miruju u odnosu na neki inercijski koordinatni sistem. Jedan od osnovnih objekata statike su sile i tačke njihove primjene.

Sila koja djeluje na materijalnu tačku s radijus vektorom iz drugih tačaka je mjera utjecaja drugih tačaka na razmatranu tačku, zbog čega ona dobiva ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Vrijednost snagu određuje se formulom:
,
gde je m masa tačke - vrednost koja zavisi od svojstava same tačke. Ova formula se zove drugi Newtonov zakon.

Primjena statike u dinamici

Važna karakteristika jednačina kretanja apsolutno krutog tijela je da se sile mogu pretvoriti u ekvivalentne sisteme. Takvom transformacijom jednačine kretanja zadržavaju svoj oblik, ali se sistem sila koje djeluju na tijelo može transformisati u jednostavniji sistem. Dakle, tačka primene sile može da se pomera duž linije njenog delovanja; sile se mogu proširiti prema pravilu paralelograma; sile primijenjene u jednoj tački mogu se zamijeniti njihovim geometrijskim zbirom.

Primjer takvih transformacija je gravitacija. Djeluje na sve tačke krutog tijela. Ali zakon kretanja tijela se neće promijeniti ako se sila gravitacije raspoređena po svim tačkama zamijeni jednim vektorom primijenjenim na centar mase tijela.

Ispada da ako glavnom sistemu sila koje djeluju na tijelo dodamo ekvivalentni sistem u kojem su smjerovi sila obrnuti, onda će tijelo pod djelovanjem ovih sistema biti u ravnoteži. Dakle, zadatak određivanja ekvivalentnih sistema sila svodi se na problem ravnoteže, odnosno na problem statike.

Glavni zadatak statike je uspostavljanje zakona za transformaciju sistema sila u ekvivalentne sisteme. Dakle, metode statike se koriste ne samo u proučavanju tijela u ravnoteži, već iu dinamici krutog tijela, u transformaciji sila u jednostavnije ekvivalentne sisteme.

Statika materijalne tačke

Razmotrite materijalnu tačku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., br.

Ako je materijalna tačka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1) .

U ravnoteži, geometrijski zbir sila koje djeluju na tačku je nula.

Geometrijska interpretacija. Ako se početak drugog vektora stavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, pa se ovaj proces nastavi, onda će kraj posljednjeg, n-tog vektora biti kombinovan sa početkom prvog vektora. Odnosno, dobijamo zatvorenu geometrijsku figuru čije su dužine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravni, onda ćemo dobiti zatvoreni poligon.

Često je zgodno odabrati pravougaoni koordinatni sistem Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:

Ako odaberete bilo koji smjer definiran nekim vektorom , tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Jednačinu (1) množimo skalarno vektorom:
.
Ovdje je skalarni proizvod vektora i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.

Statika krutog tijela

Moment sile oko tačke

Određivanje momenta sile

Moment sile, primijenjen na tijelo u tački A, u odnosu na fiksni centar O, naziva se vektor jednak vektorskom proizvodu vektora i:
(2) .

Geometrijska interpretacija

Moment sile jednak je proizvodu sile F i kraka OH.

Neka se vektori i nalaze u ravnini figure. Prema svojstvu unakrsnog proizvoda, vektor je okomit na vektore i , odnosno okomit na ravan figure. Njegov smjer je određen pravilom desnog zavrtnja. Na slici je vektor momenta usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost momenat:
.
Od tada
(3) .

Koristeći geometriju, može se dati drugačija interpretacija momenta sile. Da biste to učinili, povucite pravu liniju AH kroz vektor sile. Iz centra O ispuštamo okomitu OH na ovu pravu. Dužina ove okomice se zove rame snage. Onda
(4) .
Kako su , formule (3) i (4) su ekvivalentne.

Na ovaj način, apsolutnu vrijednost momenta sile u odnosu na centar O je proizvod sile na ramenu ova sila u odnosu na izabrani centar O .

Prilikom izračunavanja momenta, često je zgodno razložiti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi kroz tačku O. Stoga je njegov impuls jednak nuli. Onda
.
Apsolutna vrijednost trenutka:
.

Komponente momenta u pravokutnim koordinatama

Ako odaberemo pravougaoni koordinatni sistem Oxyz sa centrom u tački O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Evo koordinata tačke A u odabranom koordinatnom sistemu:
.
Komponente su vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.

Osobine momenta sile oko centra

Moment oko centra O, od sile koja prolazi kroz ovaj centar, jednak je nuli.

Ako se tačka primjene sile pomjeri duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se trenutak, tijekom takvog kretanja, neće promijeniti.

Moment iz vektorskog zbira sila primijenjenih na jednu tačku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu tačku:
.

Isto važi i za sile čije se produžne linije seku u jednoj tački.

Ako je vektorski zbir sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne zavisi od položaja centra, u odnosu na koji se momenti računaju:
.

Moćni par

Moćni par- to su dvije sile jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, primijenjene na različite tačke tijela.

Par sila karakteriše trenutak kada stvaraju. Budući da je vektorski zbir sila uključenih u par jednak nuli, moment koji par stvara ne ovisi o tački u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stanovišta statičke ravnoteže, priroda sila u paru je irelevantna. Par sila se koristi da označi da moment sila djeluje na tijelo, koji ima određenu vrijednost.

Moment sile oko date ose

Često postoje slučajevi kada ne trebamo znati sve komponente momenta sile oko odabrane tačke, već samo trebamo znati moment sile oko odabrane ose.

Moment sile oko ose koja prolazi kroz tačku O je projekcija vektora momenta sile, oko tačke O, na smer ose.

Svojstva momenta sile oko ose

Moment oko ose od sile koja prolazi kroz ovu osu jednak je nuli.

Moment oko ose od sile paralelne ovoj osi je nula.

Proračun momenta sile oko ose

Neka na tijelo u tački A djeluje sila. Nađimo moment ove sile u odnosu na osu O′O′′.

Napravimo pravougaoni koordinatni sistem. Neka se Oz os poklapa sa O′O′′ . Iz tačke A spuštamo okomitu OH na O′O′′ . Kroz tačke O i A povlačimo os Ox. Povlačimo os Oy okomitu na Ox i Oz. Razlažemo silu na komponente duž osa koordinatnog sistema:
.
Sila prelazi preko O′O′′ ose. Stoga je njegov impuls jednak nuli. Sila je paralelna sa O′O′′ osom. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Formulom (5.3) nalazimo:
.

Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čiji je centar tačka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog zavrtnja.

Uslovi ravnoteže za kruto tijelo

U ravnoteži, vektorski zbir svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli, a vektorski zbir momenata ovih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1) ;
(6.2) .

Naglašavamo da se centar O , u odnosu na koji se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Tačka O može ili pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se bira centar O da bi se proračuni olakšali.

Uslovi ravnoteže mogu se formulisati i na drugi način.

U ravnoteži, zbir projekcija sila na bilo koji smjer dat proizvoljnim vektorom jednak je nuli:
.
Zbir momenata sila oko proizvoljne ose O′O′′ je takođe jednak nuli:
.

Ponekad su ovi uslovi pogodniji. Postoje slučajevi kada se, odabirom osa, proračuni mogu učiniti jednostavnijim.

Težište tijela

Razmotrite jednu od najvažnijih sila - gravitaciju. Ovdje se sile ne primjenjuju na određenim tačkama tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj zapremini. Za svaki dio tijela sa beskonačno malim volumenom ∆V, djeluje gravitacijska sila. Ovdje je ρ gustina tvari tijela, ubrzanje slobodnog pada.

Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka tačka A k definiše poziciju ovog preseka. Nađimo veličine koje se odnose na silu gravitacije, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).

Nađimo zbir sila gravitacije koje formiraju svi dijelovi tijela:
,
gdje je masa tijela. Dakle, zbir sila gravitacije pojedinih infinitezimalnih dijelova tijela može se zamijeniti jednim gravitacijskim vektorom cijelog tijela:
.

Nađimo zbir momenata sila gravitacije u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:

.
Ovdje smo uveli tačku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj centra gravitacije, u koordinatnom sistemu sa središtem u tački O, određuje se formulom:
(7) .

Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbir sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjeno na centar mase tijela C , čiji je položaj određen formulom (7).

Položaj centra gravitacije za različite geometrijske oblike može se naći u relevantnim referentnim knjigama. Ako tijelo ima os ili ravan simetrije, tada se centar gravitacije nalazi na ovoj osi ili ravni. Dakle, težišta sfere, kruga ili kruga nalaze se u centrima krugova ovih figura. Težišta pravokutnog paralelepipeda, pravokutnika ili kvadrata također se nalaze u njihovim središtima - na mjestima presjeka dijagonala.

Ravnomjerno (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.

Postoje i slučajevi slični sili gravitacije, kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili zapremini. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .

(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine , primijenjenom na težište dijagrama. Pošto je dijagram na slici A pravougaonik, težište dijagrama je u njegovom centru - tački C: | AC| = | CB |.

(slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultanta jednaka je površini dijagrama:
.
Tačka primjene je u centru gravitacije parcele. Težište trougla, visine h, udaljeno je od osnove. Zbog toga .

Sile trenja

Trenje klizanja. Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (sila pritiska). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući kretanje tijela. Njegova najveća vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalna veličina.

trenje kotrljanja. Pustite da se zaobljeno tijelo kotrlja ili se može kotrljati po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, u mjestu dodira s površinom, djeluje moment sila trenja, koji sprječava kretanje tijela. Najveća vrijednost momenta trenja je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs teorijske mehanike, Viša škola, 2010.

Opće teoreme dinamike sistema tijela. Teoreme o kretanju centra mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavnog momenta količine gibanja, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertovi principi i moguća pomjeranja. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.

Sadržaj

Rad koji je izvršila sila, jednak je skalarnom proizvodu vektora sila i beskonačno malog pomaka točke njegove primjene:
,
odnosno proizvod modula vektora F i ds i kosinusa ugla između njih.

Rad obavljen momentom sile, jednak je skalarnom proizvodu vektora momenta i beskonačno malog ugla rotacije:
.

d'Alambertov princip

Suština d'Alamberovog principa je da se problemi dinamike svedu na probleme statike. Da bi se to postiglo, pretpostavlja se (ili je unaprijed poznato) da tijela sistema imaju određena (ugaona) ubrzanja. Zatim se uvode sile inercije i (ili) momenti inercijskih sila koje su po veličini jednake i recipročne po smjeru silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvarale zadana ubrzanja ili kutna ubrzanja.

Razmotrimo primjer. Tijelo vrši translatorno kretanje i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje, pretpostavljamo da ove sile stvaraju ubrzanje centra mase sistema. Prema teoremi o kretanju centra mase, centar mase tijela imao bi isto ubrzanje da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
;
.

Za rotacijsko kretanje postupite na sličan način. Neka tijelo rotira oko ose z i na njega djeluju vanjski momenti sila M e zk. Pretpostavljamo da ovi momenti stvaraju ugaono ubrzanje ε z . Zatim uvodimo moment sile inercije M I = - J z ε z . Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
Pretvara se u statički zadatak:
;
.

Princip mogućih pokreta

Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od pisanja jednadžbi ravnoteže. Ovo posebno važi za sisteme sa vezama (na primer, sisteme tela povezanih nitima i blokovima), koji se sastoje od mnogo tela

Princip mogućih pokreta.
Za ravnotežu mehaničkog sistema sa idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbir elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za bilo koji mogući pomak sistema bude jednak nuli.

Moguće preseljenje sistema- radi se o malom pomaku, pri kojem se veze nametnute sistemu ne prekidaju.

Savršene veze- to su obveznice koje ne rade kada se sistem pomjeri. Tačnije, zbir rada koji obavljaju same veze prilikom pomeranja sistema je nula.

Opća jednadžba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)

D'Alembert-Lagrangeov princip je kombinacija d'Alembertovog principa sa principom mogućih pomaka. Odnosno, pri rješavanju problema dinamike uvodimo sile inercije i problem svodimo na problem statike, koji rješavamo po principu mogućih pomaka.

d'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sistem kreće sa idealnim ograničenjima u svakom trenutku vremena, zbir elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih sila inercije na bilo koji mogući pomak sistema jednak je nuli:
.
Ova jednačina se zove opšta jednačina dinamike.

Lagrangeove jednadžbe

Generalizovane koordinate q 1 , q 2 , ..., q n je skup od n vrijednosti koje jedinstveno određuju poziciju sistema.

Broj generaliziranih koordinata n poklapa se sa brojem stupnjeva slobode sistema.

Generalizirane brzine su derivati ​​generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.

Generalizovane sile Q 1 , Q 2 , ..., Q n .
Razmotrimo mogući pomak sistema, u kojem će koordinata q k dobiti pomak δq k . Ostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tokom takvog pomaka. Onda
δA k = Q k δq k , ili
.

Ako se s mogućim pomakom sistema mijenjaju sve koordinate, tada rad vanjskih sila tokom takvog pomaka ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalni derivati ​​rada pomaka:
.

Za potencijalne snage sa potencijalom Π,
.

Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe kretanja mehaničkog sistema u generaliziranim koordinatama:

Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i moguće vremena. Stoga je njegov parcijalni izvod također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da bi se pronašao ukupni izvod s obzirom na vrijeme, mora se primijeniti pravilo diferencijacije složena funkcija:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki kurs teorijske mehanike, Viša škola, 2010.

20th ed. - M.: 2010.- 416 str.

Knjiga iznosi osnove mehanike materijalne tačke, sistema materijalnih tačaka i čvrstog tela u obimu koji odgovara programima tehničkih univerziteta. Navedeno je mnogo primjera i zadataka čija su rješenja popraćena odgovarajućim smjernicama. Za studente redovnih i dopisnih tehničkih univerziteta.

Format: pdf

veličina: 14 MB

Pogledajte, preuzmite: drive.google

SADRŽAJ
Predgovor trinaestom izdanju 3
Uvod 5
PRVI ODJELJAK STATIKA ČVRSTOG STANJA
Poglavlje I. Osnovni pojmovi Početne odredbe članova 9
41. Apsolutno kruto tijelo; snagu. Zadaci statike 9
12. Početne odredbe statike » 11
$ 3. Veze i njihove reakcije 15
Poglavlje II. Sastav snaga. Sistem konvergentnih sila 18
§4. Geometrijski! Metoda kombinovanja sila. Rezultat konvergirajućih sila, razlaganje sila 18
f 5. Projekcije sila na osu i na ravan, Analitička metoda za postavljanje i sabiranje sila 20
16. Ravnoteža sistema konvergentnih sila_. . . 23
17. Rješavanje problema statike. 25
Poglavlje III. Moment sile oko centra. Snažni par 31
i 8. Moment sile oko centra (ili tačke) 31
| 9. Par sila. par trenutaka 33
f 10*. Teoreme ekvivalencije i sabiranja parova 35
Poglavlje IV. Dovođenje sistema snaga u centar. Uslovi ravnoteže... 37
f 11. paralelni transfer snaga 37
112. Dovođenje sistema sila u dato središte - . .38
§ 13. Uslovi za ravnotežu sistema sila. Teorema o momentu rezultante 40
Poglavlje V. Ravni sistem sila 41
§ 14. Algebarski momenti sila i parovi 41
115. Svođenje ravnog sistema sila na najjednostavniji oblik .... 44
§ 16. Ravnoteža ravnog sistema sila. Slučaj paralelnih sila. 46
§ 17. Rješavanje problema 48
118. Ravnoteža sistema tijela 63
§ 19*. Statički određeni i statički neodređeni sistemi tijela (strukture) 56"
f 20*. Definicija unutrašnjih sila. 57
§ 21*. Raspoređene snage 58
E22*. Proračun ravnih rešetki 61
Poglavlje VI. Trenje 64
! 23. Zakoni trenja klizanja 64
: 24. Grube reakcije vezivanja. Ugao trenja 66
: 25. Ravnoteža u prisustvu trenja 66
(26*. Trenje navoja na cilindričnoj površini 69
1 27*. Trenje kotrljanja 71
Poglavlje VII. Prostorni sistem snaga 72
§28. Moment sile oko ose. Proračun glavnog vektora
i glavni momenat sistema sila 72
§ 29*. Svođenje prostornog sistema sila na najjednostavniji oblik 77
§trideset. Ravnoteža proizvoljnog prostornog sistema sila. Slučaj paralelnih sila
Poglavlje VIII. Težište 86
§31. Centar paralelnih snaga 86
§ 32. Polje sile. Težište krutog tijela 88
§ 33. Koordinate težišta homogenih tijela 89
§ 34. Metode za određivanje koordinata težišta tijela. 90
§ 35. Težišta nekih homogenih tijela 93
DRUGI DIO KINEMATIKA TAČKE I KRUTOG TIJELA
Poglavlje IX. Kinematika tačke 95
§ 36. Uvod u kinematiku 95
§ 37. Metode za određivanje kretanja tačke. . 96
§38. Vektor brzine tačke,. 99
§ 39
§40. Određivanje brzine i ubrzanja tačke koordinatnom metodom zadavanja kretanja 102
§41. Rješavanje zadataka kinematike tačaka 103
§ 42. Osi prirodnog triedra. Brojčana vrijednost brzine 107
§ 43. Tangenta i normalno ubrzanje tačke 108
§44. Neki specijalni slučajevi kretanja tačke u softveru
§45. Grafikoni kretanja, brzine i ubrzanja tačke 112
§ 46. Rješavanje problema< 114
§47*. Brzina i ubrzanje tačke u polarnim koordinatama 116
Poglavlje X. Translacijska i rotirajuća kretanja krutog tijela. . 117
§48. Translacijski pokret 117
§ 49. Rotaciono kretanje krutog tela oko ose. Kutna brzina i kutno ubrzanje 119
§pedeset. Ravnomerna i ravnomerna rotacija 121
§51. Brzine i ubrzanja tačaka rotirajućeg tela 122
Poglavlje XI. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela 127
§52. Jednačine ravnoparalelnog kretanja (kretanje ravninske figure). Dekompozicija kretanja na translaciono i rotaciono 127
§53*. Određivanje putanja tačaka ravni slike 129
§54. Određivanje brzina tačaka na ravnoj slici 130
§ 55. Teorema o projekcijama brzina dvije tačke tijela 131
§ 56. Određivanje brzina tačaka ravne figure pomoću trenutnog centra brzina. Koncept težišta 132
§57. Rješavanje problema 136
§58*. Određivanje ubrzanja tačaka ravne figure 140
§59*. Trenutni centar ubrzanja "*"*
Poglavlje XII*. Kretanje krutog tijela oko fiksne tačke i kretanje slobodnog krutog tijela 147
§ 60. Kretanje krutog tijela koje ima jednu nepokretnu tačku. 147
§61. Kinematske Eulerove jednadžbe 149
§62. Brzine i ubrzanja tjelesnih tačaka 150
§ 63. Opšti slučaj kretanja slobodnog krutog tela 153
Poglavlje XIII. Složeno kretanje tačke 155
§ 64. Relativni, figurativni i apsolutni pokreti 155
§ 65, Teorema sabiranja brzine » 156
§66. Teorema o sabiranju ubrzanja (Coriolova teorema) 160
§67. Rješavanje problema 16*
Poglavlje XIV*. Složeno kretanje krutog tijela 169
§68. Dodavanje translacionih pokreta 169
§69. Sabiranje rotacija oko dvije paralelne ose 169
§70. Cilindrični zupčanici 172
§ 71. Sabiranje rotacija oko osa koje se seku 174
§72. Sabiranje translacijskih i rotacijskih pokreta. Pokret šrafa 176
TREĆI DEO DINAMIKA TAČKE
Poglavlje XV: Uvod u dinamiku. Zakoni dinamike 180
§ 73. Osnovni pojmovi i definicije 180
§ 74. Zakoni dinamike. Problemi dinamike materijalne tačke 181
§ 75. Sistemi jedinica 183
§76. Osnovni tipovi snaga 184
Poglavlje XVI. Diferencijalne jednadžbe kretanja tačke. Rješavanje zadataka dinamike tačaka 186
§ 77. Diferencijalne jednačine, kretanja materijalne tačke br
§ 78. Rješenje prvog problema dinamike (određivanje sila iz datog kretanja) 187
§ 79. Rješenje glavnog problema dinamike u pravolinijskom kretanju tačke 189
§ 80. Primjeri rješavanja problema 191
§81*. Pad tijela u mediju otporan (u zrak) 196
§82. Rješenje glavnog problema dinamike, sa krivolinijskim kretanjem tačke 197
Poglavlje XVII. Opće teoreme dinamike tačaka 201
§83. Količina kretanja tačke. Impuls sile 201
§ S4. Teorema o promjeni količine gibanja tačke 202
§ 85. Teorema o promjeni ugaonog momenta tačke (teorema o momentima) "204
§86*. Kretanje pod dejstvom centralne sile. Zakon oblasti.. 266
§ 8-7. Prisilni rad. Snaga 208
§88. Primjeri proračuna rada 210
§89. Teorema o promjeni kinetičke energije tačke. "... 213J
Poglavlje XVIII. Neslobodno i relativno kretanje tačke 219
§90. Neslobodno kretanje tačke. 219
§91. Relativno kretanje tačke 223
§ 92. Uticaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tela... 227
Član 93*. Odstupanje tačke incidenta od vertikale zbog rotacije Zemlje "230
Poglavlje XIX. Pravolinijske fluktuacije tačke. . . 232
§ 94. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora 232
§ 95. Slobodne oscilacije sa viskoznim otporom (prigušene oscilacije) 238
§96. Prisilne vibracije. Rezonancija 241
Poglavlje XX*. Kretanje tijela u polju gravitacije 250
§ 97. Kretanje bačenog tela u Zemljinom gravitacionom polju „250
§98. Vještački sateliti Zemlje. Eliptične putanje. 254
§ 99. Koncept bestežinskog stanja. „Lokalni referentni sistemi 257
ČETVRTI DEO DINAMIKA SISTEMA I KRUTOG TIJELA
G i a v a XXI. Uvod u dinamiku sistema. momenti inercije. 263
§ 100. Mehanički sistem. Snage spoljne i unutrašnje 263
§ 101. Masa sistema. Težište 264
§ 102. Moment inercije tela oko ose. Radijus inercije. . 265
103 $. Momenti inercije tijela oko paralelnih ose. Hajgensova teorema 268
§ 104*. centrifugalni momenti inercije. Pojmovi o glavnim osama inercije tijela 269
$105*. Moment inercije tijela oko proizvoljne ose. 271
Poglavlje XXII. Teorema o kretanju centra mase sistema 273
$ 106. Diferencijalne jednačine kretanja sistema 273
§ 107. Teorema o kretanju centra masa 274
108 dolara. Zakon održanja kretanja centra masa 276
§ 109. Rješavanje problema 277
Poglavlje XXIII. Teorema o promjeni količine pokretnog sistema. . 280
$ ALI. Broj sistema kretanja 280
§111. Teorema o promjeni količine gibanja 281
§ 112. Zakon održanja impulsa 282
$113*. Primjena teoreme na kretanje tečnosti (gasa) 284
§ 114*. Telo promenljive mase. Pokret rakete 287
Gdawa XXIV. Teorema o promjeni momenta impulsa sistema 290
§ 115. Glavni momenat veličina kretanja sistema 290
$ 116. Teorema o promjeni glavnog momenta impulsa sistema (teorema momenata) 292
117 dolara. Zakon održanja glavnog momenta impulsa. . 294
118 dolara. Rješavanje problema 295
119 dolara*. Primjena teoreme o momentu na kretanje tečnosti (gasa) 298
§ 120. Uslovi ravnoteže za mehanički sistem 300
Poglavlje XXV. Teorema o promjeni kinetičke energije sistema. . 301.
§ 121. Kinetička energija sistema 301
122 dolara. Neki slučajevi obračunskog rada 305
$ 123. Teorema o promjeni kinetičke energije sistema 307
124 dolara. Rješavanje problema 310
125 dolara*. Mješoviti zadaci „314
126 $. Potencijalno polje sile i funkcija sile 317
127 dolara, potencijalna energija. Zakon održanja mehaničke energije 320
Poglavlje XXVI. "Primjena općih teorema na dinamiku krutog tijela 323
$12&. Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose ". 323"
129 dolara. Fizičko klatno. Eksperimentalno određivanje momenata inercije. 326
130 dolara. Ravnoparalelno kretanje krutog tijela 328
131 $*. Osnovna teorija žiroskopa 334
132 $*. Kretanje krutog tijela oko fiksne tačke i kretanje slobodnog krutog tijela 340
Poglavlje XXVII. d'Alambertov princip 344
133 dolara. d'Alambertov princip za tačku i mehanički sistem. . 344
$ 134. Glavni vektor i glavni moment inercijskih sila 346
135 dolara. Rješavanje problema 348
136 dolara*, Didemijske reakcije koje djeluju na osu rotirajućeg tijela. Balansiranje rotirajućih tijela 352
Poglavlje XXVIII. Princip mogućih pomaka i opšta jednačina dinamike 357
§ 137. Klasifikacija veza 357
§ 138. Moguća pomeranja sistema. Broj stepeni slobode. . 358
§ 139. Princip mogućih kretanja 360
§ 140. Rješavanje zadataka 362
§ 141. Opšta jednačina dinamike 367
Poglavlje XXIX. Uslovi ravnoteže i jednačine kretanja sistema u generalizovanim koordinatama 369
§ 142. Generalizovane koordinate i generalizovane brzine. . . 369
§ 143. Generalizovane snage 371
§ 144. Uslovi ravnoteže za sistem u generalizovanim koordinatama 375
§ 145. Lagrangeove jednačine 376
§ 146. Rješavanje zadataka 379
Poglavlje XXX*. Male oscilacije sistema oko položaja stabilne ravnoteže 387
§ 147. Koncept stabilnosti ravnoteže 387
§ 148. Male slobodne vibracije sistema sa jednim stepenom slobode 389
§ 149. Male prigušene i prinudne oscilacije sistema sa jednim stepenom slobode 392
§ 150. Male zbirne oscilacije sistema sa dva stepena slobode 394
Poglavlje XXXI. Teorija elementarnog udara 396
§ 151. Osnovna jednačina teorije udara 396
§ 152. Opšte teoreme teorije udara 397
§ 153. Faktor oporavka od udara 399
§ 154. Udar tijela o fiksnu barijeru 400
§ 155. Direktan centralni udar dva tijela (udar loptica) 401
§ 156. Gubitak kinetičke energije pri neelastičnom udaru dva tijela. Carnotova teorema 403
§ 157*. Udarac u rotirajuće tijelo. Impact centar 405
Indeks 409

Predmet obuhvata: kinematiku tačke i krutog tela (i sa različitih gledišta predlaže se razmatranje problema orijentacije krutog tela), klasične probleme dinamike mehaničkih sistema i dinamiku krutog tela, elementi nebeske mehanike, kretanje sistema promenljivog sastava, teorija udara, diferencijalne jednačine analitičke dinamike.

Međutim, kurs pokriva sve tradicionalne dijelove teorijske mehanike Posebna pažnja dat je na razmatranje najinformativnijih i najvrednijih za teoriju i primjenu dijelova dinamike i metoda analitičke mehanike; izučava se statika kao dio dinamike, au dijelu kinematike detaljno se uvode pojmovi neophodni za odjeljak dinamike i matematički aparat.

Informativni resursi

Gantmakher F.R. Predavanja iz analitičke mehanike. - 3. izd. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Osnove teorijske mehanike. - 2. izd. - M.: Fizmatlit, 2001; 3rd ed. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Teorijska mehanika. - Moskva - Iževsk: Istraživački centar "Regularna i haotična dinamika", 2007.

Zahtjevi

Predmet je namenjen studentima koji poseduju aparat za analitičku geometriju i linearnu algebru u okviru programa prve godine tehničkog univerziteta.

Program kursa

1. Kinematika tačke
1.1. Problemi kinematike. Dekartov koordinatni sistem. Dekompozicija vektora u ortonormalnoj bazi. Radijus vektor i koordinate tačke. Tačkasta brzina i ubrzanje. Trajektorija kretanja.
1.2. Prirodni trouglasti. Proširenje brzine i ubrzanja u osi prirodnog triedra (Huygensov teorem).
1.3. Krivolinijske koordinate tačaka, primjeri: polarni, cilindrični i sferni koordinatni sistemi. Komponente brzine i projekcije ubrzanja na ose krivolinijskog koordinatnog sistema.

2. Metode za određivanje orijentacije krutog tijela
2.1. Solid. Fiksni i tijelom vezani koordinatni sistemi.
2.2. Matrice ortogonalne rotacije i njihova svojstva. Ojlerova teorema konačnog okreta.
2.3. Aktivno i pasivno gledište o ortogonalnoj transformaciji. Sabiranje okreta.
2.4. Konačni uglovi rotacije: Eulerovi uglovi i uglovi "aviona". Izraz ortogonalne matrice u terminima konačnih uglova rotacije.

3. Prostorno kretanje krutog tijela
3.1. Translaciono i rotaciono kretanje krutog tela. Kutna brzina i kutno ubrzanje.
3.2. Raspodjela brzina (Eulerova formula) i ubrzanja (Rivalsova formula) tačaka krutog tijela.
3.3. Kinematske invarijante. Kinematički vijak. Instant vijčana osovina.

4. Ravnoparalelno kretanje
4.1. Koncept ravnoparalelnog kretanja tijela. Ugaona brzina i kutno ubrzanje u slučaju ravnoparalelnog kretanja. Trenutni centar brzine.

5. Složeno kretanje tačke i krutog tijela
5.1. Fiksni i pokretni koordinatni sistemi. Apsolutno, relativno i figurativno kretanje tačke.
5.2. Teorema o sabiranju brzina u slučaju složenog kretanja tačke, relativne i figurativne brzine tačke. Koriolisova teorema o sabiranju ubrzanja za složeno kretanje tačke, relativnom, translacionom i Koriolisovom ubrzanju tačke.
5.3. Apsolutna, relativna i prenosiva ugaona brzina i ugaono ubrzanje tela.

6. Kretanje krutog tijela sa fiksnom tačkom (kvaterniona prezentacija)
6.1. Koncept kompleksnih i hiperkompleksnih brojeva. Algebra kvaterniona. Kvaternion proizvod. Konjugirani i inverzni kvaternion, norma i modul.
6.2. Trigonometrijski prikaz jediničnog kvaterniona. Kvaterniona metoda specificiranja rotacije tijela. Ojlerova teorema konačnog okreta.
6.3. Odnos između komponenti kvaterniona u različitim bazama. Sabiranje okreta. Rodrigues-Hamiltonovi parametri.

7. Ispitni rad

8. Osnovni pojmovi dinamike.
8.1 Moment, ugaoni moment (kinetički moment), kinetička energija.
8.2 Snaga sila, rad sila, potencijal i ukupna energija.
8.3 Centar mase (centar inercije) sistema. Moment inercije sistema oko ose.
8.4 Momenti inercije oko paralelnih ose; Huygens–Steinerova teorema.
8.5 Tenzor i elipsoid inercije. Glavne osi inercije. Svojstva aksijalnih momenata inercije.
8.6 Proračun ugaonog momenta i kinetičke energije tijela pomoću tenzora inercije.

9. Osnovne teoreme dinamike u inercijalnim i neinercijalnim referentnim okvirima.
9.1 Teorema o promjeni impulsa sistema u inercijskom referentnom okviru. Teorema o kretanju centra masa.
9.2 Teorema o promjeni ugaonog momenta sistema u inercijskom referentnom okviru.
9.3 Teorema o promjeni kinetičke energije sistema u inercijskom referentnom okviru.
9.4 Potencijalne, žiroskopske i disipativne sile.
9.5 Osnovne teoreme dinamike u neinercijalnim referentnim okvirima.

10. Kretanje krutog tijela s fiksnom tačkom po inerciji.
10.1 Ojlerove dinamičke jednačine.
10.2 Ojlerov slučaj, prvi integrali dinamičkih jednačina; stalne rotacije.
10.3 Tumačenja Poinsota i Macculaga.
10.4 Regularna precesija u slučaju dinamičke simetrije tijela.

11. Kretanje teškog krutog tijela sa fiksnom tačkom.
11.1 Opća formulacija problema oko kretanja teškog krutog tijela.
fiksna tačka. Eulerove dinamičke jednadžbe i njihovi prvi integrali.
11.2 Kvalitativna analiza kretanje krutog tijela u Lagrangeovom slučaju.
11.3 Prisilna pravilna precesija dinamički simetričnog krutog tijela.
11.4 Osnovna formula žiroskopije.
11.5 Koncept elementarne teorije žiroskopa.

12. Dinamika tačke u središnjem polju.
12.1 Binetova jednadžba.
12.2 Jednačina orbite. Keplerovi zakoni.
12.3 Problem raspršivanja.
12.4 Problem dva tijela. Jednačine kretanja. Integral površine, energetski integral, Laplaceov integral.

13. Dinamika sistema promjenljivog sastava.
13.1 Osnovni pojmovi i teoreme o promjeni osnovnih dinamičkih veličina u sistemima promjenljivog sastava.
13.2 Kretanje materijalne tačke promenljive mase.
13.3 Jednačine kretanja tijela promjenljivog sastava.

14. Teorija impulzivnih pokreta.
14.1 Osnovni pojmovi i aksiomi teorije impulsivnih kretanja.
14.2 Teoreme o promjeni osnovnih dinamičkih veličina tokom impulsnog kretanja.
14.3 Impulzivno kretanje krutog tijela.
14.4 Sudar dva kruta tijela.
14.5 Carnotove teoreme.

15. Test

Ishodi učenja

Kao rezultat savladavanja discipline, student mora:

• znati:
  • osnovni pojmovi i teoreme mehanike i metode proučavanja kretanja mehaničkih sistema koji iz njih proizlaze;
• biti u mogućnosti da:
  • pravilno formulisati probleme u smislu teorijske mehanike;
  • razviti mehaničke i matematičke modele koji adekvatno odražavaju glavna svojstva fenomena koji se razmatraju;
  • primijeniti stečena znanja za rješavanje relevantnih specifičnih problema;
• Vlastiti:
  • vještine rješavanja klasičnih problema teorijske mehanike i matematike;
  • vještine proučavanja problema mehanike i izgradnje mehaničkih i matematičkih modela koji na adekvatan način opisuju različite mehaničke pojave;
  • veštine praktične upotrebe metoda i principa teorijske mehanike u rešavanju zadataka: proračun sila, određivanje kinematičkih karakteristika tela u razne načine zadaci kretanja, utvrđivanje zakona kretanja materijalnih tijela i mehaničkih sistema pod djelovanjem sila;
  • vještine samostalnog savladavanja novih informacija u procesu proizvodnje i naučna djelatnost korišćenje savremenih obrazovnih i informacionih tehnologija;